가우스 법칙

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목차
1. 개요2. 상세3. 증명
3.1. 미분형
4. 대표 예제5. 물질에서의 가우스 법칙6. 관련 문서

1. 개요 [편집]

Gauss' law

고등학교 물리를 배우다가 일반물리학에서 전자기학을 배우게 되면서 가장 먼저 고등 물리에서 배우는 전자기학과의 차이점 중 하나이다.

닫힌(closed) 가우스 면(Gaussian surface)[1]을 임의로 잡았을 때, 가우스 면을 통과하는 전기선속(electric flux) F \displaystyle F는 다음과 같이 주어진다.

F≡∯E⋅da=qencε0 \displaystyle F \equiv \oiint{ \mathbf{ E } \cdot \mathrm{d} \mathbf{ a } } = \dfrac{ q_{\textrm{enc} } }{ \varepsilon_{0} }

여기서 qenc q_{\textrm{enc} }(혹은 qinq_{\text{in}})은 가우스 면 안(in)에 든 총 전하량이고, ε0 \varepsilon_{0} 은 진공에서의 유전율(permittivity)이다.

적분 내 항을 살펴보면, E \mathbf{E} 은 전기장이고, da \mathrm{d} \mathbf{a} 은 가우스 면에 수직하고 면적이 da \mathrm{d}a 인 면적소 벡터이다. 면적소 벡터의 방향은 어떤 면적소의 영역에 수직하다.

즉, 가우스 면을 통과하는 전기선속은 가우스 면 안에 든 전하의 양에 비례한다는 것을 알 수 있다.

2. 상세 [편집]

가장 간단하고 쉬운 설명은 어떤 닫힌 공간에 있어서 그 공간의 총 전기선속(electric flux)에 영향을 주는 것은 공간 내부의 전하뿐이라는 것이다.[2] 프랑스의 과학자 쿨롱이 발견한 두 전하간의 상호작용하는 힘을 나타내는 식, 바로 쿨롱의 힘이 근본이 된다. 이 때 어떤 전하가 다른 전하에 주게 되는 힘을 단위 전하당 가해지게 되는 힘을 나타낸것이 전기장이다.[3] 이 전기장에 면적을 곱한 것[4]이 전기선속[5]이다. 이 때 한 공간에 폐곡면을 잡았을 때 그 폐곡면 내부에 있는 전하의 값에 유전율을 나눈 값이 폐곡면에 해당하는 총 전기선속 값이라는 것이다.[6]

3. 증명 [편집]

어떤 부피 영역 VV를 감싸는 폐곡면 SS를 고려하도록 하자. 또한 아래 그림과 같이 SS 내부에 미소 전하 dq\mathrm{d}q가 있다고 해보자.

파일:new_나무_가우스_증명_1_수정.png

이제 우리는 이 미소 전하에 의한 SS 위의 미소 전기력 선속 dF\mathrm{d}F를 구하고자 한다. 구하는 전기력 선속은

dF=∯SE⋅da\displaystyle \mathrm{d}F=\oiint_{S}\mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{a}

E\mathbf{E}는 미소 전하에 의한 SS 위의 미소 넓이 영역 da\mathrm{d}a 위에서의 전기장임에 유의한다. 이때, 전기장 문서의 내용과 분리 벡터 ξ≡r−r′\boldsymbol{\xi} \equiv \mathbf{r-r'}의 표현을 빌리면,

E=dq4πε0ξ^ξ2\displaystyle \mathbf{E}=\frac{\mathrm{d}q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{ \hat{\boldsymbol{\xi}} }{\xi^{2}}

이고, dq\mathrm{d}q는 SS에 대한 적분과 무관하므로,

dF=dq4πε0∯Sξ^⋅daξ2\displaystyle \mathrm{d}F=\frac{\mathrm{d}q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \oiint_{S} \frac{ \hat{\boldsymbol{\xi} } \cdot \mathrm{d} \mathbf{a} }{\xi^{2}}

으로 쓸 수 있다. 그런데, 적분항은 입체각 문서를 참고하면, 결국 미소 전하의 위치를 기준으로 구한 폐곡면 SS의 입체각이다. 그런데 해당 기준점은 폐곡면 내부에 있으므로 적분의 값은 4π4 \pi가 된다. 따라서

dF=dqε0\displaystyle \mathrm{d}F=\frac{\mathrm{d}q}{\varepsilon_{0}}

따라서 총 전하에 대한 선속은

F=∭Vdqε0=qencε0\displaystyle F=\iiint_{V} \frac{\mathrm{d}q}{\varepsilon_{0}}=\frac{q_{\text{enc} }}{\varepsilon_{0}}

이 된다. 미소 전하가 폐곡면 내에 있는 경우에 대해서만 논의하기 때문에 dq\mathrm{d}q를 VV에 대한 적분을 하면, SS안에 든 전하량 qencq_{\text{enc}}로 나옴에 유의해야 한다.

그렇다면, 아래의 그림과 같이 미소 전하가 폐곡면 SS 외부에 있으면 어떻게 될까?

파일:new_나무_가우스_증명_2_수정.png

이 경우에도

dF=dq4πε0∯Sξ^⋅daξ2\displaystyle \mathrm{d}F=\frac{\mathrm{d}q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \oiint_{S} \frac{ \hat{\boldsymbol{\xi} } \cdot \mathrm{d} \mathbf{a} }{\xi^{2}}

가 될 것이다. 그러나, 적분 항은 위에서도 언급했듯, 결국 미소 전하의 위치를 기준으로 구한 폐곡면 SS의 입체각이었으며, 기준점이 폐곡면 외부에 있기 때문에 이 폐곡면에 대한 입체각은 0이다.[7] 따라서 폐곡면 외부에 미소 전하는 선속에 기여하지 못하게 된다는 것을 알 수 있다.

이에 따라 가우스 법칙은 아래와 같은 결론을 주게 되고,

F=∯SE⋅da=qencε0\displaystyle F=\oiint_{S}\mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{a}=\frac{q_{\text{enc} }}{\varepsilon_{0}}

이 선속 자체는 위 결과에 따라 SS 안에 든 전하들에 의해서만 기여되므로 qencq_{\text{enc}}는 SS 안에 든 전하량이어야 함을 얻는다.

3.1. 미분형 [편집]

계속해서 가우스 법칙의 미분형을 유도하자. 발산 정리에 의해

∯SE⋅da=∭V(∇⋅E) dV \displaystyle \oiint_{S}{ \mathbf{ E } \cdot \mathrm{d} \mathbf{ a } } =\iiint_{V}{(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E})\,\mathrm{d}V}

로 바꿀 수 있고,

∯SE⋅da=14πε0∯Sξ^⋅daξ2∭V dq \displaystyle \oiint_{S}{ \mathbf{ E } \cdot \mathrm{d} \mathbf{ a } } =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \oiint_{S}{\frac{\hat{\boldsymbol{\xi}} \cdot \mathrm{d}\mathbf{a}}{{{\xi} }^{2}}} \iiint_{V}{\,\mathrm{d}q}

에서 S S 에 대한 적분은 폐곡면 내부에 대한 입체각 적분이어서 그 값은 4π 4\pi 로 주어지므로

∯SE⋅da=∭Vdqε0 \displaystyle \oiint_{S}{ \mathbf{ E } \cdot \mathrm{d} \mathbf{ a } } = \iiint_{V}\frac{\mathrm{d}q}{\varepsilon_{0}}

이 된다. 따라서 결과를 종합하면,

∭V(∇⋅E) dV=∭Vdqε0 \displaystyle \iiint_{V}{(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E})\,\mathrm{d}V} = \iiint_{V}\frac{\mathrm{d}q}{\varepsilon_{0}}

전하밀도(charge density) ρ≡dq/dV \rho \equiv \mathrm{d}q/\mathrm{d}V 를 도입하면,

dq=ρ dV \displaystyle \mathrm{d}q = \rho \, \mathrm{d}V

로 바꿀 수 있고, 적분에 대입하면,

∭V(∇⋅E) dV=∭Vρε0 dV \displaystyle \iiint_{V}{(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E})\,\mathrm{d}V} = \iiint_{V}\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}\,\mathrm{d}V

이상에서

∇⋅E=ρε0 \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E} = {\rho \over \varepsilon_0}

를 얻을 수 있다. 이 결과를 물리적으로 해석해보면, 전기장의 원천은 전하임을 알 수 있다. 가우스 법칙은 맥스웰 방정식의 첫 번째 식이며, 자세한 사항은 맥스웰 방정식을 참조하기 바란다.

4. 대표 예제 [편집]

5. 물질에서의 가우스 법칙 [편집]

6. 관련 문서 [편집]

[1] 전자기학에서 폐곡면(closed surface)을 달리 이르는 말이다. 폐곡면이란 '내부 공간과 외부 공간을 분리하며, 이 표면을 지나지 않고는 한 공간에서 다른 공간으로 이동할 수 없게 하는 표면'을 뜻한다.[2] 물론 총 전기선속이 0이라 해서 그 공간의 전기장이 0인 것은 아니다. 전기 쌍극자만 봐도 알 수 있는 것[3] 이것을 설명하는 이론이 바로 장 이론. 전자기학에서는 원천전하로부터 전기장이 발생해 이 전기장이 다른 전하에 힘을 주게 된다는 것이다. 쿨롱의 힘에서 힘이 가해지는 전하의 전하를 나누고 식을 봤을 때 거리 제곱의 역수에 비례하는 것으로 직관적으로 알 수 있다. 자세한 것은 전기장 참고[4] 정확히 말하면 면적벡터에 내적한 것[5] 전기장을 미소면적에 대해 내적한 값이 미소 전기선속이므로 이것을 적분한 값이 전확인 그 면적에 해당하는 전기선속 값이다.[6] 물론 진공 속이 아닌 경우 유도전하가 생기므로 두 개의 경우로 나타낼 수 있게 된다.[7] 설명이 필요하다면, 입체각 문서를 보라.

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